Bandes dessinées

Énoncé

Un libraire souhaite déstocker un nombre $n$ de bandes dessinées en les vendant par lots. En regroupant les bandes dessinées par lots de $15$ , il en reste $8$ ; tandis qu'en les regroupant par lots de $23$ , il en reste $9$ .

1. Vérifier que $n$ est solution du système $(S):\{\begin{array}{l}n\equiv 8[15]\\ n\equiv 9[23]\end{array}$ .

2. Justifier l'existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $15u+23v=1$ .

3. On pose $n_0=9\times 15u+8\times 23v$ .
    a. Vérifier que $n_0$ est une solution de $(S)$ .
    b. Déterminer une solution particulière $n_0$ de $(S)$ .

4. a. Vérifier que :  $(S)⟺\{\begin{array}{l}n\equiv n_0[15]\\ n\equiv n_0[23]\end{array}$ .
    b. En déduire que $n$ est solution de $(S)$ si, et seulement si, $n\equiv n_0[345]$ .

5. On sait que  $n$  est compris entre  $500$ et $900$ . Quelle est la valeur de $n$ ?