Bandes dessinées

Énoncé

Un libraire souhaite déstocker un nombre \(n\) de bandes dessinées en les vendant par lots. En regroupant les bandes dessinées par lots de \(15\) , il en reste \(8\) ; tandis qu'en les regroupant par lots de \(23\) , il en reste \(9\) .

1. Vérifier que \(n\) est solution du système \((S) \colon \left\lbrace \begin{array}{l}n \equiv 8 \ [15]\\ n \equiv 9 \ [23]\end{array} \right.\) .

2. Justifier l'existence de deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(15u+23v=1\) .

3. On pose \(n_0=9 \times 15u+8 \times 23v\) .
    a. Vérifier que \(n_0\) est une solution de \((S)\) .
    b. Déterminer une solution particulière \(n_0\) de \((S)\) .

4. a. Vérifier que :  \((S) \ \Longleftrightarrow \ \left\lbrace \begin{array}{l}n \equiv n_0 \ [15]\\ n \equiv n_0 \ [23]\end{array} \right.\) .
    b. En déduire que \(n\) est solution de \((S)\) si, et seulement si, \(n \equiv n_0 \ [345]\) .

5. On sait que  \(n\)  est compris entre  \(500\) et \(900\) . Quelle est la valeur de \(n\) ?